Β· Misalnya, jika anda menetapkan 1 Bulan sebagai parameter input untuk "Periode", maka setiap profil volume yang diplot pada chart akan memasukkan volume semua perdagangan dari hari pertama hingga hari terakhir setiap bulan yang tersedia. Anda dapat membaca lebih lanjut tentang membangun profil volume di artikel ini.. "/>
Menghitung volume galian dan lambak , seperti pada jalan raya , lega setiap pekerjaan persil terletak perhitungan galian dan timbunan. Bagaimanakah mandu kita menghitung tambang dan timbunan? ini nan perlu kita bahas bilamana ini. Estimasi ini dapat kita buat semenjak autocad dan mengaplikasikannya kedalam matra microsoft Excel, pada saat syarah pasti sudah belajar nan namanya prinsip menotal volume makdan dan timbunan, untuk itu misal memahfuzkan kembali dan pasti akan kita jumpa dalam pekerjaan petak pada suatu proyek nan namanya menghitung galian dan timbuan. Sebelumnya saya sudah lalu membahas cara menghitung volume cross section dan mencari luas noktah koordinat melalu autocad. Kalau mutakadim mendaras artikel sebelumnya awalan ini boleh dilanjutkan dengan mudah hanya membuat nya kedalam matra microsoft excel, kenapa harus dibuat kedalam format excel apakah tidak dapat dihitung secara manual namun? ini pertanyaan yang sering terjadi dapat tetapi kita menghitun volume dengan manual , namun adv amat tidak mungkin sekiranya volume nan akan kita hitung banyak dan laporan kepada tuan titipan bisa β bisa bukan diterima oleh mereka, maka dengan menggunakan ini kita dapat kian cepat mengerjakannya dan laporanpun dipedulikan. Pada format excel ada rumus nan boleh meyelesaikan ini semua, setiap galian dan gundukan plong rata-rata menggunakan rumus ini dan hasilnya lebih akurat dibanding dengan runding manaual, maka dari itu mahasiswa teknik sipil harus tahu memperalat rumus ini sehingga kapan jumpa pegangan petak untuk mencari galian dan onggokan sudah bisa mengerjakannya dengan baik. Sebelum membahas rumus saya makin silam mengingatkan volume nan akan kita hitung dalah berdasarkan hasil survey data alun-alun yang di dapatkan dan di apklikasikan kedalam autocad sehingga kita memafhumi luas melalui tutul koordinat per gambar seandainya untuk perkembangan raya rata-rata disebut cross section. Maka hasil berasal noktah koordinat nya nanti bisa dimasukan kedalam format excel. Bagi memulai nya perhatiakan hasil titik koordinat yang didapat dari autocad berikut ini, ini adalah keseleo satu data Murang Titik KOORDINAT X 86,5910 86,6990 87,4970 87,5830 86,5909 Y 26,1120 25,6540 25,6540 26,0204 26,1120 X 86,5153 86,7433 87,5502 87,7870 87,5628 Y 24,6060 23,6270 23,6270 24,6750 24,6059 Pada tabel diatas api-api x dan y adalah titik koordinat nan kita boleh kan semenjak autocad saya sudah yakin kamu pasti bisa mendapatkan titik koordinatnya dengan cara mencerna luas provinsi nan ingin di hitung luas nya pada bahan anda. sesudah mendapatkan bintik koordinatnya maka kita memasukan semua titik koordinat tadi kedalam excel. Sebelum memasukan titik koordinat tadi terlebih suntuk kita mengatur dimensi nya lega excel sesudah itu bau kencur masuk rumus excelnya, untuk contoh yang dibuat oleh menghitung volume tambang dan longgokan adimarga per cross section perhatikan format yang saya buat dibawah ini. Perhatikan dimensi excel diatas pada pada sta 0+010 terdapat hasil tutul koordinat sumbu x dan y yang di dapat dari autocad, lakukan panjangnya adalah m ini adalah jarak dari sebatas yakni 10 m. Ketika sudah takhlik matra sama dengan diatas kita bisa membuat rumus pada kolom luas seperti format excel diatas, dan rumusnya bisa engkau lihat sebagaimana kerangka dibawah ini. Rumusnya bisa anda lihat dengan menggunakan =ROUNDABSSUMPRODUCTF12N12;E13M13-SUMPRODUCTE12M12;F13N13/2;3 Seandainya kita membidas coloums dan rows nya pasti seperti F12 dan seterusnya ikut rumus tersebut maka akan mendapatkan hasil untuk luas yang saya lingkari pada rajah diatas. Jikal luas sudah bisa bersantap kamu tinggak tarik berpokok sudut colums luas ke coloums Maka luasnya juga akan kita boleh. Lakukan lebih lanjut cak bagi mencari piutang gunakan rumus kerjakan menambahkan luas ditambah luas dibagi dengan 2 risikonya dikalikan dengan jaraknya yaitu 10 makan akan dapat hasil volume berpokok sampai Untuk menambah membentuk format sebagai halnya ini harus hati β lever dan perlu ketegaran karena noktah koordinat yang salah letaknya akan mempengaruhi hasil tagihan yang tidak. Inilah sedikit ilmu tekntan menghitung piutang dan galian longgokan, mudah β mudahan bermanfaat.
langsung saja contoh dan pembahasannya, semoga bermanfaat.. Soal : 1 Diantara titik-titik A dan B di buat sebuah poligon dengan lima titik dan 5 di titik awal A digunakan sudut jurusan ap, dan dititik akhir B digunakan sudut jurusan akhir bq. Kordinat-kordinat titik-titik : A : X = - 2.789,54 Y = + 1.228,94
Cara menghitung volume - menghitung volume sebuah pekerjaan merupakan hal yang sangat dasar yang harus kita ketahui, apalagi data yang haru kita hitung dengan data koordinat. bagi orang yang awam mungkin hal ini akan membingungkan untuk di lakukan. tapi tenang sobat, kali ini kita akan belaja bersama tentang bagaimana cara menghitung volume dengan koordinat. Bagi sobat yang ini mengetahui ini lebih rinci baca jelas artikelnya untuk mengetahui cara menghitung volume dengan koordinat. data titik itu sendiri adalah sebuah titik lokasi atau titik yang telah kita dapatkan serta kita tandai di sebuah lokasi dengan menggunakan GPS yang terkoneksi langsung dengan satelit. Baca juga Cara menghitung kebutuhan beton untuk cor jalan raya Biasanya untuk menghitung volume dengan menggunakan koordinat kita tentu membutuhkan sebuah program aplikasi teknik yang bernama autocad. propgram ini bisa membaca titik koordinat yang akan kita hitung volumeberdasarkan titik x dan y pada autocad. Pada program autocad titik koordinat x dan y akan di hitung secara polygon tertutup untuk mendapatkan hasilnya, dimana polygon tertutup bisa digunakan untuk menghitung volume luas area, luas bangunan, yang biasa digunakan untuk jalan raya, drainase dan pekerjaan tanah. Cara menentukan titik koordinat pada object autocad Pada saat kita menggambar di autocad maka kita bisa memasukkan perintah untuk melihat titik koordinat x dan y pada objek tersebut. seperti ini sobat, kita misalkan untung menghitung volume galian dan timbunan pada cross section jalan. Pada perhitungan galian timbunan pasti kita akan menentukan titik koordinat tersebut untuk mendapatkan luas area atau luas galian timbunan itu dengan existing / tanah asli dengan desain perencaan kita dalam proyek jalan, maka kita membutuhkan data berapa banyak tanah kita perlukan untuk menimbun dan berapa volume galian yang bisa kita manfaatkan untuk menimbun. maka dengan perbangingan tanah asli dengan rencana maka kita bisa menghitung kebutuhan volume dengan menggunakan koordinat. Nah sobat, untuk menentukan titik x dan y dalam autocad kita hanya perlu memasukkan perintah yang mudah, yaitu dengan menggunakan garis polyline yang kita sesuaikan dengan gambar rencana. setelah objek aktif maka sobat bisa melihat titik koordinat x dan y serta mengetahui luas area titik koordinat. lihat contoh dibawah ini Setelah kita mengetahui titik koordinat tadi maka kita harus masukan ke dalam program excel untuk membantu lebih mudah sobat menghitung volume galian dan timbunan yang kita butuhkan. Baca juga Cara Membuat Time Schedule, Bar Chart dan Kurva S untuk Sebuah Proyek Sobat pindahkan titik koordinat tadi semua ke dalam program excel untuk menghitung luas titik koordinat dengan ecxel agar mengetahui volume galian timbunan. tentunya sobat telah mempelajari ilmu polygon tertutup sebelumnya, sebagai modal sederhana untuk menghitung volume titik koordinat, sebagai contoh gunakan rumus sederhana dibawah ini. Dari gambar diatas bisa sobat lihat Luas A1 dan Luas A2 dengan memperoleh hasil A2-A1/0,5= luas objek sobat. ini merupakan rumus sederhana yang harus kita ketahui dan mengerti untuk menghitung volume dengan menggunakan titik koordinat. pada program microsoft excel juga telah disediakan rumus sederhana yang bisa sobat gunakan. pada pekerjaan jalan raya bisanya timbunan dan galian di hitung dengan menggunakan jarak STA yang standar dengan jarak 25 meter untuk 1 STA. sering kita jumpai STA 0+000 - STA 0+025 dimana artinya STA dengan jarak 25 meter. kalau kita memiliki pekerjaan 1000 maka 1000/25 = 40 STA dan tinggal kita kali dengan luar masing-masing koordinat yang telah kita dapatkan tadi dengan kombinasi program autocad dan microsoft excel. Nah itulah cara sederhana untuk menghitung volume galian dan timbunan dengan menggunakan titik koordinat. masih banyak lagi materi teknik sipil yang bisa sobat dapatkan disini, dan artikel ini akan jauh lebih bermanfaat ketika sobat bisa berbagi ilmu ini dengan sobat lainnya. salam sukses untuk kita semuaCaraMencari Titik Pusat Titik Berat Segitiga marthamatika April 26th, 2019 - Cara Mencari Titik Pusat Titik Berat Segitiga martha yunanda geometri Kalkulator Pada halaman ini kita akan lihat bagaimana cara menghitung titik tengah atau titik pusat sebuah segitiga jika diketahui tiga titik sudut dalam bentuk koordinatBlog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Aplikasi Vektor Volume Bangun Ruang yang merupakan salah satu bagian dari aplikasi vektor, dimana sebelumnya kita telah membahas aplikasi vektor yang lainnya yaitu "aplikasi vektor jarak titik ke garis" dan "aplikasi vektor luas bangun datar". Dengan mempelajari Aplikasi Vektor Volume Bangun Ruang ini, akan menambah wawasan kepada kita semua bahwa untuk mencari atau menentukan volume bangun ruang selain dengan menggunakan rumus volume yang sudah kita pelajari di tingkat SMP, ternyata volume bangun datar juga bisa kita hitung dengan menggunakan konsep vektor. Untuk memudahkan mempelajari materi Aplikasi Vektor Volume Bangun Ruang ini, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu materi "pengertian vektor dan penulisannya", "panjang vektor", "perkalian dot dua vektor", "perkalian silang dua vektor", dan "proyeksi orthogonal vektor pada vektor". Salah satu bangun ruang yang akan kita bahas adalah Paralel Epipedum , prisma, dan limas dalam Aplikasi Vektor Volume Bangun Ruang ini. Rumus Aplikasi vektor Volume Bangun Ruang $ \spadesuit \, $ Volume Paralel Epipedum Perhatikan bangun ruang di atas. Paralel Epipedum adalah benda ruang bersisi 6 yang sisi-sisi sejajarnya kongruen dan masing-masing sisinya berupa jajargenjang. Paralel Epipedum terbentuk dari tiga vektor yaitu $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , dan $ \vec{w}$. Rumus volume Paralel Epipedum yaitu Volume $ = \vec{u}.\vec{v} \times \vec{w} = \vec{v}.\vec{u} \times \vec{w} = \vec{w}.\vec{u} \times \vec{v} $ . $ \clubsuit \, $ Volume Limas Segitiga Perhatikan gambar limas segitiga di atas yang terbentuk dari tiga vektor yaitu $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , dan $ \vec{w}$. Rumus volume limas segitiga dengan konsep vektor yaitu Volume $ = \frac{1}{6} \vec{u}.\vec{v} \times \vec{w} = \frac{1}{6} \vec{v}.\vec{u} \times \vec{w} = \frac{1}{6} \vec{w}.\vec{u} \times \vec{v} $ . $ \clubsuit \, $ Volume Limas Segiempat Volume Limas segiempat dengan alas berbentuk persegi, persegi panjang, belah ketupat, atau jajargenjang, dimana limas terbentuk dari tiga vektor yaitu $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , dan $ \vec{w}$ yaitu Volume $ = \frac{1}{3} \vec{u}.\vec{v} \times \vec{w} = \frac{1}{3} \vec{v}.\vec{u} \times \vec{w} = \frac{1}{3} \vec{w}.\vec{u} \times \vec{v} $ . $ \heartsuit \, $ Volume prisma segi empat Rumus Volume prisma segi empat alasnya persegi atau persegi atau belahketupat sama dengan rumus volume Paralel Epipedum di atas. Catatan *. Bentuk $ \vec{a} \times \vec{b} \, $ adalah perkalian silang yang menghasilkan vektor. *. Bentuk $ \vec{a} . \vec{b} \, $ adalah perkalian dot yang menghasilkan skalar. *. bentuk $ \vec{u}.\vec{v} \times \vec{w} \, $ artinya nilainya selalu positif. *. Bentuk $ \vec{u}.\vec{v} \times \vec{w} = \vec{v}.\vec{u} \times \vec{w} = \vec{w}.\vec{u} \times \vec{v} \, $ artinya kita bisa menghitung volumenya dengan memilih salah satu rumus karena hasilnya akan sama, misalkan cukup menggunakan rumus $ \vec{u}.\vec{v} \times \vec{w} $ saja dengan mengerjakan operasi yang didalam kurung terlebih dahulu. Contoh soal Aplikasi Vektor Volume Bangun Ruang 1. Tentukan volume Paralel Epipedum yang dibentuk oleh vektor $ \vec{u} = 3, -1 , 2 $ , $ \vec{v} = 1, 0 , -2 $ , dan $ \vec{w} = 2, 1, 3 $ ! Penyelesaian *. Kita gunakan rumus $ \vec{u}.\vec{v} \times \vec{w} $. *. Menentukan hasil $ \vec{v} \times \vec{w} $ $ \begin{align} \vec{v} \times \vec{w} & = \left \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right \\ & = + -2.2.\vec{j} + - + + \\ & = - 4\vec{j} + \vec{k} + 2\vec{i} - 3\vec{j} \\ & = 2\vec{i} - 7\vec{j} + \vec{k} \\ & = 2 , -7 , 1 \end{align} $ *. Menentukan nilai $ \vec{u}.\vec{v} \times \vec{w} $ $ \begin{align} \vec{u}.\vec{v} \times \vec{w} & = 3, -1 , 2 . 2 , -7 , 1 \\ & = + -1.-7 + \\ & = 6 + 7 + 2 = 15 \end{align} $ *. Menentukan volume Paralel Epipedum Volume $ = \vec{u}.\vec{v} \times \vec{w} = 15 = 15 $ Jadi, volume Paralel Epipedum tersebut adalah 15 satuan volume. Gambar balok berikut adalah untuk contoh soal nomor 2,3,4, dan 5. Untuk memudahkan, mari kita daftar titik-titik sudut masing-masing yaitu A5, 0, 0 ; B5, 6, 0 ; C0, 6, 0 ; D0,0,0 ; E5, 0, 4 ; F5, 6, 4 ; G0, 6, 4 ; dan H0, 0, 4 . 2. Tentukan volume Balok di atas. Penyelesaian Cara I Rumus volume balok $ = p . l . t $ Pada gambar , $ p = 6, l = 5, t = 4 $. Volume $ = = = 120 \, $ satuan volume. Cara II Aplikasi vektor . *. Alas balok adalah ABCD yang terbentuk oleh vektor $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AD} $ $ \vec{AB} = 0, 6, 0 $ dan $ \vec{AD} = -5, 0 , 0 $ *. Balok ABCD. EFGH terbentuk juga oleh vektor $ \vec{AE} $ $ \vec{AE} = 0, 0, 4 $ *. Volume balok $ = \vec{AE} . \vec{AB} \times \vec{AD} $ *. Menentukan hasil $ \vec{AB} \times \vec{AD} $ $ \begin{align} \vec{AB} \times \vec{AD} & = \left \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 6 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{matrix} \right \\ & = 0 + 0 + 0 - 0 + 0 -30\vec{k} \\ & = 30 \vec{k} \\ & = 0 , 0 , 30 \end{align} $ *. Menentukan nilai $ \vec{AE}.\vec{AB} \times \vec{AD} $ $ \begin{align} \vec{AE}.\vec{AB} \times \vec{AD} & = 0, 0, 4 . 0 , 0 , 30 \\ & = 0 + 0 + 120 = 120 \end{align} $ Sehingga volume balok adalah 120 satuan volume. hasilnya sama dengan cara I . 3. Pada balok di atas, tentukan volume limas segitiga Penyelesaian *. Perhatikan ilustrasi gambar berikut *. Limas segitiga terbentuk dari alas segitiga ACH dengan $ \vec{AC} = -5, 6, 0 $ dan $ \vec{AH} = -5, 0, 4 $ vektor ketiga $ \vec{AF} = 0, 6, 4 $ *. Volume Limas $ = \frac{1}{6} \vec{AF} . \vec{AC} \times \vec{AH} $ *. Menentukan hasil $ \vec{AC} \times \vec{AH} $ $ \begin{align} \vec{AC} \times \vec{AH} & = \left \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 6 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{matrix} \right \\ & = 24\vec{i} + 0 +0 - 0 -20\vec{j} - 30\vec{k} \\ & = 24\vec{i} + 20\vec{j} + 30 \vec{k} \\ & = 24, 20 , 30 \end{align} $ *. Menentukan nilai $ \vec{AF}.\vec{AC} \times \vec{AH} $ $ \begin{align} \vec{AF}.\vec{AC} \times \vec{AH} & = 0, 6, 4 . 24, 20 , 30 \\ & = 0 + 120 + 120 = 240 \end{align} $ *. Volume limas Volume $ = \frac{1}{6} \vec{AF} . \vec{AC} \times \vec{AH} = \frac{1}{6} 240 = 40 $ Sehingga volume limas adalah 40 satuan volume. 4. Pada balok di atas, tentukan volume limas segitiga Penyelesaian *. Perhatikan ilustrasi gambar berikut *. Limas segitiga terbentuk dari alas segitiga BCD dengan $ \vec{BC} = -5, 0, 0 $ dan $ \vec{BD} = -5, -6, 0 $ vektor ketiga $ \vec{BE} = 0, -6, 4 $ *. Volume Limas $ = \frac{1}{6} \vec{BE} . \vec{BC} \times \vec{BD} $ *. Menentukan hasil $ \vec{BC} \times \vec{BD} $ $ \begin{align} \vec{BC} \times \vec{BD} & = \left \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 0 & 0 \\ -5 & -6 & 0 \end{matrix} \right \\ & = 0 + 0 +30\vec{k} - 0 + 0 + 0 \\ & = 30 \vec{k} \\ & = 0, 0 , 30 \end{align} $ *. Menentukan nilai $ \vec{BE}.\vec{BC} \times \vec{BD} $ $ \begin{align} \vec{BE}.\vec{BC} \times \vec{BD} & = 0, -6, 4 . 0, 0 , 30 \\ & = 0 + 0 + 120 = 120 \end{align} $ *. Volume limas Volume $ = \frac{1}{6} \vec{BE}.\vec{BC} \times \vec{BD} = \frac{1}{6} 120 = 20 $ Sehingga volume limas adalah 20 satuan volume. 5. Pada balok di atas, tentukan volume limas segiempat dengan titik P, Q, R, dan S berturut-turut terletak ditengah-tengah garis CD, CG, GH, dan DH! Penyelesaian *. Perhatikan ilustrasi gambar berikut Koordinat titik A5, 0, 0 ; P0, 3, 0 ; Q0, 6, 2 S0, 0, 2 *. Limas segiempat terbentuk dari alas PQRS dengan $ \vec{PQ} = 0, 3, 2 $ dan $ \vec{PS} = 0, -3 , 2 $ vektor ketiga $ \vec{PA} = 5, -3, 0 $ *. Volume Limas $ = \frac{1}{3} \vec{PA} . \vec{PQ} \times \vec{PS} $ *. Menentukan hasil $ \vec{PQ} \times \vec{PS} $ $ \begin{align} \vec{PQ} \times \vec{PS} & = \left \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & -3 & 2 \end{matrix} \right \\ & = 6\vec{i} + 0 +0 - -6\vec{i} + 0 + 0 \\ & = 12\vec{i} \\ & = 12, 0, 0 \end{align} $ *. Menentukan nilai $\vec{PA} . \vec{PQ} \times \vec{PS} $ $ \begin{align} \vec{PA} . \vec{PQ} \times \vec{PS} & = 5, -3, 0 . 12, 0, 0 \\ & = 60 + 0 + 0 = 60 \end{align} $ *. Volume limas Volume $ = \frac{1}{3} \vec{PA} . \vec{PQ} \times \vec{PS} = \frac{1}{3} 60 = 20 $ Sehingga volume limas adalah 20 satuan volume. $ \clubsuit \, $ Pembuktian Rumus Aplikasi Vektor Volume Bangun Ruang $ \heartsuit \, $ Volume Paralel Epipedum Perhatikan ilustrasi gambar berikut *. Alas Paralel Epipedum adalah jajargenjang yang terbentuk dari vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $. Luas alas $ = \vec{u} \times \vec{v} $ *. Perkalian silang $ \vec{u} \times \vec{v} \, $ menghasilkan vektor normal $ \vec{n} $ yang tegak lurus dengan bidang alas, sehingga $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ dan $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ *. Tinggi Paralel Epipedum adalah panjang hasil proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{n} $ yaitu tinggi $ = \left \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {\vec{n}} \right $ *. Volume Paralel Epipedum berbentuk prisma $ \begin{align} \text{Volume } & = \text{Luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = \vec{u} \times \vec{v} \times \left \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {\vec{n}} \right \\ & = n \times \left \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {\vec{n}} \right \\ & = \left \vec{w}. \vec{n} \right \\ & = \left \vec{w}. \vec{u} \times \vec{v} \right \end{align} $ Jadi, terbukti volume Paralel Epipedum $ = \left \vec{w}. \vec{u} \times \vec{v} \right $. $ \heartsuit \, $ Volume Limas Segitiga Perhatikan ilustrasi gambar berikut *. Alas Limas adalah segitiga yang terbentuk dari vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $. Luas alas $ = \frac{1}{2} \vec{u} \times \vec{v} $ *. Perkalian silang $ \vec{u} \times \vec{v} \, $ menghasilkan vektor normal $ \vec{n} $ yang tegak lurus dengan bidang alas, sehingga $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ dan $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ *. Tinggi limas segitiganya adalah panjang hasil proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{n} $ yaitu tinggi $ = \left \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {\vec{n}} \right $ *. Volume limas segitiga $ \begin{align} \text{Volume } & = \frac{1}{3} \times \text{Luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \vec{u} \times \vec{v} \times \left \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {\vec{n}} \right \\ & = \frac{1}{6} \times n \times \left \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {\vec{n}} \right \\ & = \frac{1}{6} \left \vec{w}. \vec{n} \right \\ & = \frac{1}{6} \left \vec{w}. \vec{u} \times \vec{v} \right \end{align} $ Jadi, terbukti volume limas segitiga $ = \frac{1}{6} \left \vec{w}. \vec{u} \times \vec{v} \right $. $ \heartsuit \, $ Volume Limas Segiempat Perhatikan ilustrasi gambar berikut *. Alas Limas adalah segiempat yang terbentuk dari vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $. Luas alas $ = \vec{u} \times \vec{v} $ *. Perkalian silang $ \vec{u} \times \vec{v} \, $ menghasilkan vektor normal $ \vec{n} $ yang tegak lurus dengan bidang alas, sehingga $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ dan $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ *. Tinggi limas segitiganya adalah panjang hasil proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{n} $ yaitu tinggi $ = \left \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {\vec{n}} \right $ *. Volume limas segiempat $ \begin{align} \text{Volume } & = \frac{1}{3} \times \text{Luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = \frac{1}{3} \times \vec{u} \times \vec{v} \times \left \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {\vec{n}} \right \\ & = \frac{1}{3} \times n \times \left \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {\vec{n}} \right \\ & = \frac{1}{3} \left \vec{w}. \vec{n} \right \\ & = \frac{1}{3} \left \vec{w}. \vec{u} \times \vec{v} \right \end{align} $ Jadi, terbukti volume limas segiempat $ = \frac{1}{3} \left \vec{w}. \vec{u} \times \vec{v} \right $. Demikian pembahasan materi Aplikasi Vektor Volume Bangun Ruang dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Materi Vektor tingkat SMA" yaitu "Aplikasi vektor Jarak dua garis bersilangan".